مقاله ارائه شده در دوازدهمین کنفرانس آموزش ریاضی ایران در استان سمنان
موضوع مقاله : چگونگی آموزش هندسه ی مقطع راهنمايي
چکيده
هندسه به عنوان بخشی از رياضی ، يکی از درس های مهم ، مشکل و در عين حال ، پر جاذبه و شيرين دوران تحصيل است. ( البته گهگاهی نيز مخاطره آميز می شود و لازم است موردتوجه قرار گيرد .) هر معلمی که در مقطع راهنمايي ، درس رياضی را تدريس کرده باشد ، متوجه اين می شود که دانش آموزان در بخش هندسه ، دچار سردر گمی می شوند و مسائل مربوط را نا ملموس تلقی می کنند . علت اين امر می تواند دلايل خاص خود را داشته باشد . بايد از ديد دانش آموزان به مسأله نگاه کرد و عملکردهای آن ها را در حل نمونه های متنوع مربوط به هندسه بررسی نمود تا منشا اين مشکل پيدا شود و راه حل مناسب پيشنهاد گردد .در اين مقاله سعی شده است که برخی از مشکلات يادگيری هندسه و راه حل هايي برای آموزش بهتر اين بخش از درس رياضی ارائه شود .
واژه هاي کليدي: هندسه – تقويت ذهن فضايي – بازی هندسی – بعد عملکردی
۱ – مقدمه
رياضيات با فرمول ها عجين شده است . اما اين برای دانش آموزان چندان خوش آيند نمی آيد و بهتر است آموزش رياضی در دنيای ملموس تری صورت گيرد . کاری بدون هيچ فرمول ، بدون هيچ ارتباطی با جبر ، بدون اعداد ، پرداختن به چيزی هندسی در فضا و مسائلی که با اشياء هندسی سروکار دارند ، است . بايد بتوان اشياء هندسی را طبقه بندی کرد و اشياء يک بعدی و دو بعدی و ... را به دانش آموزان معرفی نمود . چون نوع فضای زيستی ما ، سه بعدی است ، بايد به آموزشگران ياد داد که چگونه دنيای سه بعدی را در دنيای دو بعدی کاغذ بگنجانند . [۱]
هندسه يکی از دروس مهم و در عين حال همواره با دشواری برای معلمان و دانش اموزان می باشد . خيلی از افراد اين درس را مشکل و مبهم می دانند و نتيجه ی اين باور ، عدم اعتماد به نفس در يادگيری آن است . می توان آموزش هندسه را به صورت ملموس تر در آورد و دانش آموزان را به صورت ملموس با مسائل مربوط به هندسه روبرو کرد . آموزش هايي که دانش آموزان در مدرسه می بينند بايد تا حدود زيادی منعکس کننده ی زندگی واقعی آن ها باشد . اصولا ، وقتی مفاهيمی که تدريس می شوند ، در زندگی فراگيران ، معنی دار باشند و موافق درک و توانايي های آن ها ارائه شوند ، فراگيران ضمن علاقه مند شدن به آن ، عملا مسئوليت بيشتری را در امر يادگيری به عهده خواهند گرفت .
همچنين ، وقتی مفاهيم هندسه با شيوه ی استدلالی و همراه با تعريف های خشک تدريس شود ، کمتر مورد توجه قرار می گيرد و هرگاه به شيوه ی عملی و کاربردی تدريس شود ، ضمن اين که برخی ازمسائل تدريس و يادگيری ، از پيش پا برداشته خواهد شد ، در فراگيران شوق و علاقه به مطالعه و يادگيری اين درس ، ايجاد شده و رشد خواهد يافت . هندسه مثل علم رياضی ، دارای مفاهيم مجرد و ذهنی است و مفاهيمی که تعاريف هايشان نشات گرفته از خودشان است ، مثل نقطه ، خط ، سطح و ... . در تدريس اين مفاهيم ، بايستی سعی کرد که دور از ابهام ارائه شوند . هدف از تدريس رياضی ، پرورش قوای فکری ، توانايي درست انديشيدن ، به کار بستن صحيح دانش و معلومات در حل مسائل روزمره و پرورش ذهن های خلاق و مبتکر است نه محدود نمودن آن ها به حفظ تعريف ها و قضيه های خشک رياضی و هندسه .
درس هندسه ، به عنوان درس بنيادی ، علاوه بر اين که می تواند موجبات علاقه و رشد افراد در زمينه ی مشاغل سازنده ای چون معماری ، تراشکاری ، ريخته گری و ساير مشاغل توليدی ايجاد نمايد ، می تواند زمينه ی علاقه و رشد جوانان مستعد به ادامه تحصيل د ررشته های فنی و مهندسی را نيز فراهم کند . [۲]
۲- مشکلات يادگيری هندسه و راهکار ها
با اينکه هندسه ، يادگيری رياضيات را آسان می کند ، اما در يادگيری خود هندسه نيز مشکلاتی وجود دارد . اغلب در تدريس يک مطلب جديد هندسه ، به اين مساله برخورد می کنيم که مطالب پيش زمينه ی متعددی با موضوع جديد عجين شده است که عموما ضعف دانش آموزان در آن مطالب باعث می شود تا نتوانند به خوبی روی مطلب جديد متمرکز شده و آن را بياموزند .درسی برای دانش آموزان جذاب است که جنبه پژوهش و تحقيق درونی در آن باشد . حل مسائل هندسه برای دانش آموزان ، معمولا چالش برانگيز بوده است . ضعف در ياد آوری و بسيج دانش قبلی ، انتخاب راهبرد صحيح و گذر از حدسيه سازی تا رسيدن به اثبات ، از مشکلات عمده ی دانش آموزان محسوب می شود .
از جمله مشکلات ديگری که به ماهيت اين درس مربوط می شود ، می توان گفت که هندسه نسبت به جبر يا حساب ، دارای مسائل اثبات کردنی بيشتری است . يکی از رويکرد مناسب برای رفع مشکل در يادگيری هندسه ، استفاده از نظريه ی ساخت و سازگرايي و ابزارهای آموزشی در تدريس و يادگيری است . بر اين اساس ، دانش آموزان در مراحل مختلف تدريس و يادگيری مباحث درسی ، با استفاده از وسايل کمک آموزشی متنوع ، درگير حل مساله می شوند . در هندسه ی راهنمايي ، باور هر دانش آموز ، از عامل های موثر در فعالیت های ریاضی است . رياضيات ، ماهيت دوگانه ی انتزاعی و ملموس بودن دارد و هندسه نيز از اين مورد مستثنی نيست . [٣]
اکثر دانش آموزان ، قادر به حل مسائلی از هندسه هستند که آن ها را ديده اند و يا اين که معلم در تدريس خود به آن ها اشاره کرده است و آموزش ديده اند که تکاليف خود را از روش معمولی يا الگوريتمی حل کنند . ( انواع مشابه ) . برای اينکه موارد مربوط به درس هندسه ی راهنمايي برای دانش آموزان ، ملموس تر ارائه شود و آن ها يادگيری بهتری داشته باشند ، معلم بايد روش تدريس عملی توسط خود دانش آموز را اتخاذ کند . به اين صورت که در آموزش ، جزئيات ارائه شده ، توسط تک تک دانش آموزان در روی کاغذ ، انجام شود و آن ها عينا چيزی را که در حال يادگيری هستند ، لمس کنند . متاسفانه به خاطر اينکه دانش آموزان ، هندسه ی ابتدايي را واقعا ياد نمی گيرند ، در سال اول راهنمايي ، گويی اصلا هندسه نياموخته اند و چيزی که معلمان مدام بايد به دانش آموزان خود بگويند ، اين است : « اعتماد به نفس داشته باشيد .»
يکی ديگر از مواردی که بايد در آموزش هندسه به آن دقت نمود ، نمادهايي است که به کار می بريم . بايد اين نماد ها را در ابتدا به دانش آموزان معرفی کنيم تا برايشان ملموس شود . مثلا نماد زاويه ، کمان ، پاره خط ، موازی بودن ، متقاطع بودن و عمود بودن و ... . نکته ی ديگر اين است که بايد به دانش آموزانمان بياموزيم همان طور که در مسائل ، هندسی عمل می کنند ، در رابطه با هندسه نيز ، بتوانند تصور هندسی را به تصور ملموس تری مبدل کنند . مراحل تدريس هندسه را می توان به صورت فيلم آهسته به دانش آموزان نشان داد . به اين صورت که مراحل با شکل هايشان در يک صفحه نمايش ( تخته سياه ، وايت بورد ، .... ) نمايش داده شود . چيزی که مهم است ، اين است که دانش آموزان بتوانند آن چيزی که مورد نظر است ، دريافت کنند .
برای آموزش بهتر هندسه به دانش آموزان راهنمايی ، بايستی ابتدا ذهن فضایي آن ها را آماده کنيم . بنابراين تمرين ذهنی لازم برای يادگيری درس هندسه ی راهنمايي بايد بررسی شود . اينکه دانش آموزان چطور بتوانند برخی از موارد را در ذهن خود مجسم کنند و به آن معنی ببخشند . برای اين کار ، بايد يک سری مراحلی از تمرينات را برای دانش آموزان ارائه کرد . اولين مرحله برای آشنايي با تجسم فضايي ، می تواند مثال هايي از طبيعت اطراف دانش آموز باشد که خيلی راحت او را به دنيای سه بعدی هندسه وارد می کند . دانش آموز بايد بياموزد که چطور بتواند اجسام سه بعدی را در دنيای دو بعدی کاغذ جا دهد . اين مانند رسيدن از کل به جز است . اجزای مبهمی که در نظر دانش آموز در هندسه نهفته است ، آن را برای او مشکل می سازد طوری که شکايت از جدايي هندسه و رياضيات می کند . مشکل اساسی ديگر دانش آموزان در رابطه با درس هندسه ، می تواند اين باشد که آن ها هدف از آموزش اين بخش از رياضيات را نمی دانند و انگيزه ای هم ندارند و اين پيچيدگی هندسه را برای آن ها بيشتر و گنگ تر می کند .
٣- شيوه های برتر تدريس هندسه
در اين جا ، هندسه ی راهنمايي بررسی می شود . بسياری از مشکلات حاصل دراين مقطع ، ريشه در ضعف هندسه ی ابتدايي دارد . شيوه های تدريس هندسه ( رياضی ) می تواند در سه روش کلی زير خلاصه شود :
١- شيوه های زبانی تدريس ( يادگيری از طريق شنيدن ) که تدريس به کمک سخنرانی و استدلال معلم و همراه با نماد ها و گزاره های رياضی است . اگر چه اين شيوه ی تدريس برای فراگيرانی مناسب است که در مرحله ی رشد عملکرد های قياسی ( ۱ تا ۱۶ سالگی ) قرار دارند ولی با توجه به مفاهيم هندسه ( نقطه ، خط ، خطوط موازی و ...) لازم است حداقل تدريس آن به شيوه ی تصوير انجام شود.
٢- شيوه های تصويری تدريس ( يادگيری از طريق ديدن و شنيدن ) که تدريس به کمک نمودار های تصويری ( اشکال و تصاوير ) و اشيای واقعی انجام می شود و فراگيران ضمن توجه به توضيحات معلم ، ناظر بر فعاليت های تدريس او هستند . ( رشم اشکال و تصاوير )
٣– شيوه های عملی تدريس ( يادگيری از طريق تجربه و عمل ) که تدريس به کمک فعاليت های هدفدار برنامه ريزی شده و توسط خود فراگيران انجام می شود و پس از انجام فعاليت های يادگيری و به منظور نتيجه گيری فراگيران ، به بحث و گفتگو می پردازند . [۲]
آگاهی از مفاهيم هندسه و اهميت تدريس آن و مطالعه ی ماهيت فراگيران و مرحله ای از رشد که در آن قرار دارند و محدوديت هايي که در اين سنين با آن مواجه هستند ، توجه به يک نکته را ضروری می نمايد و آن انتخاب مناسب ترين نقطه ی آغاز تدريس مفاهيم هندسه است . يادگيری های انسان ، اصولا از جز به کل و موافق رشد قوای ذهنی او صورت می پذيرد . اما گاهی نيز راه طبيعی يادگيری فراگيران از کل به جز است . البته زمانی که فراگيری کل برای آن ها ساده تر و قابل لمس تر از اجزای متشکله ی آن است . در تدريس هندسه نيز ، می توان از کل به جز آموزش داد . مثلا حجم سطح ها خط ها و بالاخره نقطه . به نظر می رسد که اين شيوه ی معرفی مفاهيم ، ضمن اين که به شيوه ی عملی قابل تدريس است ، موافق طبع و ماهيت آن ها خواهد بود و چون درک مفهوم کل از اجزا ی آن ساده تر است ، تدريس آن را حتی می توان در دروه ی آمادگی آغاز نمود . اگر در تدريس هندسه از وسايل کمک آموزشی مثلا از يک تخته ی مستقل که نقطه چين های منظمی دارد استفاده شود ، عملکرد بهتری مشاهده خواهد شد . و همچنين فعاليت های يادگيری می تواند به صورت فردی يا گروهی انجام گيرد .
٣-۱- تدريس هندسه با بازی
با طراحی بازی های خاص ، می توان برخی از مهارت های يادگيری هندسه را به دانش آموزان آموخت . به عنوان مثال ، بازی زير ، مهارت تجسم مکانی و ترسيم اشکال را در دانش آموزان تقويت می کند :
سه يا چهار شی مختلف را چنان روی ميز وسط اتاق قرار دهيد که هنگام مشاهده ی اشيا ، هر سه بعد آن ها قابل تجسم و تشخيص باشد . نخست ، بهتر آن است که چگونگی آرايش و چيدن آن ها روی ميز ، کاملا ساده باشد . سپس ، از دانش آموزانی که گرداگرد ميز نشسته اند ، بخواهيد که هر يک – بي آنکه جای خويش را تغيير بدهند – مجموعه ی اجسام را به گونه ای رسم کنند که انگار هر دانش آموز اشيا را از طرف مقابل می بيند. [۴]
بازی ديگر زير نيز ، مهارت تجسم بعد های سه گانه و درک فکری را در دانش آموزان بالا می برد . اين بازی برای دانش آموزان دوم راهنمايی مناسب است . صفحه ی بازی شامل چهار صفحه ی ۴در ۴ خانه ای است که مطابق شکل زير ، روی هم قرار داده شده اند ، به طوری که مجموع آن ها يک اسباب بازی سه بعدی می سازند که خانه های آن ها دارای يک موقعيت فضايي ۴در ۴در ۴ هستند . بازيکنان که به تناوب بازی می کنند ، مهره ها را در سه بعد مختلف قرار می دهند و هر يک می کوشند تا چهار مهره ی خود را در راستای يکی از بعد های سه گانه رديف کنند . هر يک از چهار صفحه ی مذکور بايد از اشياء نازک شفاف ( مثل پلاستيک شفاف يا حتی شيشه ) انتخاب و ساخته شوند تا کار موقعيت يابی مهره ها در خانه ها براحتی امکان پذير باشد. [۴]
شکل ۱
بازی ديگر نيز در رابطه با تقويت اين مهارت به اين صورت است : معلم يک نمودار هندسی می کشد و آن را به يکی از دانش آموزان می دهد .( نمودار مذکور بستگی به دوره ی تحصيلی دانش آموز ، می تواند آسان و يا پيچيده ترسيم شده باشد .) اين دانش آموز می کوشد بی آنکه نمودار را به کسی نشان دهد ، جزئيات آن را تا حد امکان با وضوح و دقت کامل برای ساير دانش آموزان بيان کند . هر يک از دانش آموزان با توجه به استنباط خود از توصيف ارائه شده ، نمودار مورد نظر را رسم می کند . پس از پايان کار ، نمودار های ترسيمی دانش آموزان جمع و با اصل آن مقايسه می شود . اين بازی بر خلاف آن چه به نظر می رسد ، بسيار دشوار است . مثال هايي از اين گونه ترسيمات در شکل ها ی زير آمده است : [۴]
شکل 2
٣- بررسی عملکرد دانش آموزان بعد از تدريس
برای يافتن نقاط ضعف دانش آموزان در يادگيری مفاهيم مختلف هندسه ، می توان نوشته ی دو دانش آموز قوی و ضعيف را مقايسه نمود . نمونه ی زير مربوط به دو دانش آموز دوم راهنمايي هم کلاسی می باشد.
شکل ٣
با توجه به نمونه ی بالا ، مشاهده می شود که نوشته های سمت چپ صحيح تر می باشند . می توان فهميد که دانش آموزی که نمونه ی سمت راست را نوشته است ، اصلا ضلع و زاويه را تشخيص نداده است . چون برابری ضلع و زاويه (AD=E و ... ) را مطرح کرده است که معقولانه نيست . اگر دانش آموزی در تشخيص مفاهيمی چون زاويه و ضلع مشکل دارد ، بايستی از روش ساده تری برای آموزش او استفاده نمود . به عنوان مثال ، برای تشخيص زاويه و ضلع ، اشکال متنوعی مانند زير رسم کنيد و از دانش آموز بخواهيد ضلع مقابل به زاويه ی مشخص يا برعکس را بگويد . و اين تمرين را مکررا از او بخواهيد .در ابتدا از اشکال ساده استفاده کنيد . برای ساير مفاهيم نيز می توان از راهکار ابتدايي تر اما مفيدتر ، استفاده نمود.
شکل ۴
نتيجه گيری
با توجه به مشکلات ذکر شده درياددهی و يادگيری هندسه ، می توان فهميد که پايه ی دانش آموزان اهميت زيادی برای مراحل بعدی يادگيری هندسه دارد . همچنين تقويت ذهن فضايي و قدرت فکری دانش آموز در مقاطع پايين تر، نکته ی مهم ديگر محسوب می شود . مساله ی ديگر اين است که در يادگيری هندسه ، نبايد فقط معلم به نوشتن جزييات و مراحل بپردازد ، بلکه دانش آموز بايد مرحله ها را به همراه معلم ، خودش انجام دهد . در اين حالت ، يادگيری ملموس تر می شود .
همچنين ، اين نکته اهميت پيدا می کند که بايد به دانش آموزان خود ياد بدهيم که در روبر شدن با يک مساله ی هندسی ، فقط روی مجهول متمرکز نشوند ، بلکه سعی بکنند در راستای توجه به مجهول خواسته شده ، از داده های ذکر شده شروع بکنند و جلو بروند . [۵]
پيشنهادات
۱- ٣- بررسی عملکرد دانش آموزان بعد از تدريس ه ۱- تاليف يک کتابي که شامل کاربرد ها ي( در طبيعت و زندگي ) مفاهيم رياضيات (در مقاطع مختلف تحصيلي ) باشد و همچنين شامل قسمتي که دانش آموز در آن تصاوير هنري خودش را ترسيم مي کند ( براي بالا بردن تفکر رياضي وار دانش آموزان ) . در واقع ، از کاربرد هاي رياضيات در محيط زندگي و طبيعت و همچنين از هنر مرتبط با رياضيات در طبيعت ، در اين کتاب جمع آوري مي شود .
۲- درست کردن کاردستی رياضی وار به عنوان فعاليت جالب برای موضوعات مختلف کتاب درسی . در واقع ، اين کار دستی ها بايستی برای بهتر ياد گرفتن موضوعات مربوطه ، درست شوند .
٣- در آموزش هندسه ، استفاده از انيميشن ها و نرم افزارهای کامپيوتری ، مفيد خواهد بود . بهتر است از انيميشن ها و محتوای الکترونيکی که هر معلم ، خودش با توجه به وضعيت دانش آموزانش تهيه می کند ، استفاده شود .
منابع و مآخذ:
١- لانگ ، سرژ ؛ هنر رياضی ورزيدن ؛ ( غلامرضا ياسی پور) ؛ چاپ اول ؛ بهار ١٣٧١ .
٢- مبينی ، محمد تقی ؛ روش تدريس هندسه ؛ انتشارات معونت فرهنگی آستان قدی رضوی ؛ چاپ اول؛ ١٣٦٩.
٣- مجموعه مقالات دهمين کنفرانس آموزش رياضی ايران
٤- دفت ، جان ؛ درک مفاهيم رياضی از طريق بازی های آموزشی ؛ (حسن نصيرنيا )؛ انتشارات مدرسه ؛ چاپ سوم ؛ زمستان ١٣٧٥.
۵- پوليا ، جورج ؛ خلاقيت رياضی ؛ (پرويز شهرياری ) ؛ انتشارات فاطمی ؛ چاپ هفتم ؛ ۱٣۸۲.
منیع: http://elhamsahraei.blogfa.com
مکتب ریاضیات: اولین مدرسه مجازی ریاضی در ایران